Мутима
МАТЕМА́ТИКА, наука о количественных отношениях и пространственных формах. Осн. методом исследований процессов и явлений с помощью М. является создание формализов. модели изучаемого явления и её изучение математич. средствами. При недостаточном соответствии результатов, полученных при исследовании математич. модели, результатам непосредств. наблюдений этого явления требуется совершенствование модели. Типичным примером применения этого подхода может служить построение (и многократное совершенствование) модели движения планет Солнечной системы.
Понимание самостоят. положения М. как особой науки стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло в Древней Греции (6–5 вв. до н. э.). Развитие М. до этого времени относят к периоду зарождения математики, а 6–5 вв. до н. э. считается началом периода развития элементарной математики. В период зарождения М. математич. исследования имели дело с огранич. запасом осн. понятий, возникших на ранних ступенях историч. развития в связи с простыми запросами хозяйств. жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, коммерч. расчётам, навигации и т. п. Для первых задач механики и физики (за исключением отд. исследований Архимеда) было достаточно того же запаса осн. математич. понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математич. методов изучения явлений природы (17–18 вв.) требовала существенного развития некоторых разделов М., была астрономия, вызвавшая, напр., раннее развитие тригонометрии.
В 17 в. новые запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих с помощью М. изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрич. фигур. С появлением переменных величин в аналитич. геометрии Р. Декарта и созданием дифференциального и интегрального исчисления начался период развития математики переменных величин.
Зарождение математики
На ранних стадиях развития общества необходимость счёта предметов привела к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. На основе устного счёта возникли письм. системы счисления и постепенно выработались приёмы выполнения арифметич. действий над натуральными числами. Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) привели к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Т. о. накопился материал, постепенно сложившийся в арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительства, а несколько позднее – астрономии, вызвали развитие начал геометрии. Эти процессы шли у мн. народов в значит. степени независимо и параллельно. Дальнейшее развитие М. связано с накоплением арифметич. и геометрич. знаний в Древнем Египте и Вавилонии.
Сохранившиеся математич. тексты Древнего Египта (1-я пол. 2-го тыс. до н. э.) состоят преим. из примеров на решение отд. задач и некоторых рецептов для их решения. Следует говорить именно о рецептах для решения отд. типов задач, т. к. математич. теории, по-видимому, не существовало (в частности, не было доказательств общих теорем). Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее запас установленных математич. фактов был довольно велик (см. Папирусы математические).
Математич. текстов, позволяющих судить о М. в Вавилонии, больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от 2-го тыс. до н. э. до возникновения и развития греч. М. В Вавилонии того времени использовалась перешедшая из более раннего шумерского периода шестидесятиричная система счисления с элементами позиционного принципа (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Деление сводилось к умножению при помощи таблиц обратных чисел. Имелись также таблицы произведений, квадратов, приближённых значений квадратных и кубич. корней. На основе развитой техники арифметич. вычислений появились начала алгебры. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработку измерения углов и начал тригонометрии. Вавилонянам было известно содержание Пифагора теоремы.
Развитие элементарной математики
После накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметич. вычислений и способов определения площадей и объёмов М. сформировалась как самостоят. наука. Было осознано своеобразие её метода и появилась потребность систематич. развития осн. понятий и предложений М. в достаточно общей форме. Систематич. и логически последовательное построение основ М. вполне определилось в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно выросла чисел теория. Начало формироваться понятие о величине, при этом процесс разработки понятия действительного числа оказался весьма длительным. Это связано с тем, что понятия отрицательного и иррационального чисел относятся к тем математич. абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют опоры в донаучном общечеловеческом опыте.
Создание алгебры как буквенного исчисления завершилось лишь в конце периода развития элементарной М., хотя спец. обозначения для неизвестных появились в Древней Греции у Диофанта и более систематически – в Индии (7 в. н. э.). Обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. Ф. Виетом. Развитие геодезии и астрономии рано привело к детальной разработке плоской и сферической тригонометрии. Период развития элементарной М. закончился в Зап. Европе в нач. 17 в., с переходом к М. переменных величин.
Потребность в строгих математич. доказательствах появилась в Древней Греции, где были сделаны первые попытки систематич. построения М., которая, как и всё научное и худож. творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока. С этого времени сохраняются имена математиков, оставивших после себя математич. сочинения, которые дошли до нас в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами. Греки считали себя в области арифметики учениками финикийцев, объясняя высокое развитие у них арифметики потребностями обширной торговли. Начало греч. геометрии связывают с путешествиями в Египет (7–6 вв. до н. э.) Фалеса Милетского и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства вычислений переросла в теорию чисел. Суммировались простейшие арифметич. прогрессии [в частности, было известно равенство $1 3 5 ... (2n- 1)=n^2$], изучались делимость чисел, разл. виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое). Вопросы теории чисел (напр., разыскание совершенных чисел) связывались в школе Пифагора с мистич. и магич. значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с теоремой Пифагора был найден метод получения неогранич. ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек целых чисел $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих соотношению $a^2 b^2=c^2$. В области геометрии задачи, которыми занимались греч. геометры в 6–5 вв., естественно возникали из простейших запросов строительства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника, о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Новым, однако, был подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования: не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греч. геометры искали строгие доказательства и логически исчерпывающие решения проблемы. Примером этой новой тенденции служит доказательство несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Во 2-й пол. 5 в. филос. и науч. жизнь Греции сосредоточилась в Афинах. Здесь протекала осн. деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского, которым приписывают составление первого систематич. учебника по геометрии. К этому времени была создана система геометрии, в которой не игнорировались такие логич. тонкости, как доказательство равенства треугольников. Отражением в М. первых, хотя и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось открытие всех пяти правильных многогранников – результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить осн. «камнями мироздания». На границе 5–4 вв. Демокрит, исходя из атомистич. представлений, предложил способ определения объёмов, послуживший позднее основой для разработки исчерпывания метода. В 4 в. в обстановке упадка могущества Афин наступила эпоха подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистич. философией. Наука о числах отделялась от «искусства счисления», а геометрия – от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объёмов, Аристотель налагал общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии вводилось требование ограничиваться построениями, осуществимыми лишь при помощи циркуля и линейки. Наиболее значит. достижением математиков 4 в. можно считать исследования Евдокса Книдского, связанные как с логич. анализом основ геометрии, так и с математич. представлением видимого движения планет.
С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий осн. центром науч. и особенно математич. исследований была Александрия, где в обстановке объединения разл. мировых культур и широкого гос. покровительства науке М. достигла высшего расцвета. Александрийский мусейон, являвшийся первым научно-исследовательским ин-том в совр. смысле слова, и библиотеки притягивали почти всех крупнейших учёных в Александрию. Наибольшей напряжённостью математич. творчества отличается первый век александрийской эпохи, когда работали Евклид, Архимед (живший в Сиракузах), Эратосфен и Аполлоний Пергский.
В «Началах» Евклида собраны и переработаны предыдущие достижения в области геометрии. Вместе с тем в «Началах» Евклид заложил основы строгой теории чисел, доказав бесконечность ряда простых чисел и построив законченную теорию делимости. Из работ Евклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений. Осн. заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины, хотя рост объёма науч. знаний продолжался. Начала анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристич. приёмах Архимеда, получили дальнейшее развитие лишь много веков спустя. Возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. к отказу от математич. строгости. Приближённые значения корней и все астрономич. вычисления приводились ими с точным указанием границ погрешности, по типу архимедова определения длины окружности в форме строго доказанных неравенств
$3\frac{10}{71}d
где $p$ – длина окружности диаметра $d$. Отчётливое понимание того, что приближённая М. не является нестрогой М., было позднее надолго забыто.
Существенным недостатком всей М. Древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Это обстоятельство привело философию 4 в. до н. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин, хотя в теории пропорций и в методе исчерпывания математикам 4–3 вв. удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Неск. следующих веков принесли не решение проблемы путём создания нового фундам. понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение с утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. врем. отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность развития алгебры. Значит. успехи в этом направлении содержатся в соч. Герона «Метрика», однако самостоят. развитие алгебраич. исчисления встречается лишь в соч. Диофанта «Арифметика», посвящённом в осн. решению уравнений. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант ограничивается, в отличие от Герона, рациональными решениями. Гиппарх первым составил таблицы хорд, игравшие роль таблиц синусов. Менелай и Клавдий Птолемей заложили основы сферич. тригонометрии. При этом тригонометрия воспринималась в большой мере как часть астрономии, а не М., и к ней не предъявлялись требования полной строгости формулировок и доказательств.
В Китае во 2–1 вв. до н. э. были известны способы приближённого извлечения квадратных и кубич. корней из целых чисел, а также, по существу, использовался метод исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений. Примером высокого развития вычислит. методов в геометрии служит результат Цзу Чун-чжи (2-я пол. 5 в. н. э.), который показал, что отношение $π$ длины окружности к диаметру лежит в пределах 3,1415926$π$3,1415927.
Инд. математики в 5–12 вв. н. э. ввели в широкое употребление совр. десятичную систему счисления и систематически использовали нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда, однако происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь арабскими, не вполне выяснено. Ещё одной их заслугой является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с отрицательными и иррациональными числами. В тригонометрии инд. математики рассматривали графики синуса и косинуса.
В зап.-европ. науке длительное время господствовало мнение, что роль араб. математиков сводится в осн. к сохранению и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий Древнего мира и Индии. По-видимому, это связано с тем, что сочинения греч. математиков впервые стали известны в Зап. Европе в араб. переводах. В действительности вклад математиков, писавших на араб. яз., значительно больше. В 1-й половине 9 в. Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоят. науки. По его соч. «Китаб аль-джебр ва-л-му кабала» европ. математики раннего Средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучал уравнения 3-й степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Математики Ср. Азии и Ближнего Востока заимствовали у индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, однако в вычислениях применяли преим. шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии). В связи с астрономич. и геодезич. работами араб. учёных большое развитие получила тригонометрия. Они использовали тригонометрич. функции, для которых были составлены достаточно точные таблицы. В «Трактате об окружности» (ок. 1427) аль-Каши нашёл число $π$ с 17 десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов он предложил итерационный метод численного решения уравнений.
12–15 вв. для европ. математики были периодом усвоения наследия Древнего мира и Востока. В это время широко распространились учебники, соединяющие практич. направленность с большой обстоятельностью и науч. строгостью. После появления в 12 в. первых лат. переводов книг греч. и араб. математиков Леонардо Пизанский опубликовал сочинения «Книга об абаке» (1202) и «Практика геометрии» (1220), излагавшие арифметику, алгебру и геометрию. Осн. центрами науч. мысли в это время были университеты. Прогресс алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания практич. правил для решения задач, проявился в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин (Ф. Брадвардин и Н. Орем) и во введении дробных (Орем), отрицательных и нулевых (франц. математик Н. Шюке, кон. 15 в.) показателей степеней. Региомонтан составил тригонометрич. таблицы (с точностью до 7-го знака). Была значительно усовершенствована математич. символика (см. Математические знаки), развивались науч. критика и полемика. Поиски решений трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, привели к первым доказательствам неразрешимости некоторых из этих задач. В частности, Леонардо Пизанский доказал (ок. 1225) неразрешимость уравнения $х^3 2x^2 10x=20$ не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей (вида $\sqrt{a} \sqrt{b}$ и т. п.).
С 16 в. наука Зап. Европы стала превосходить науку Древнего мира и Востока. Так было в астрономии (гелиоцентрич. система Н. Коперника), в механике (исследования Г. Галилея) и в М., несмотря на то, что в некоторых направлениях европ. наука ещё отставала от достижений ср.-азиат. математиков 15 в. Новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европ. М., возникли лишь в 17 в. В 16 в. были открыты способы решения алгебраич. уравнений 3-й (С. Ферро, ок. 1515; позднее и независимо от него – Н. Тарталья, ок. 1530) и 4-й (Л. Феррари, 1545) степеней. Дж. Кардано исследовал уравнения 3-й степени и обнаружил т. н. неприводимый случай, в котором действительные корни уравнения выражаются с использованием комплексных чисел. Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета. С. Стевин разработал (1585) правила арифметич. действий с десятичными дробями.
Математич. образование в России в 9–13 вв. находилось на уровне наиболее развитых стран Вост. и Зап. Европы, затем оно было надолго задержано монголо-татарским нашествием. В 15–16 вв. в связи с укреплением Рус. гос-ва и экономич. ростом страны значительно выросли потребности в математич. знаниях. В кон. 16–17 вв. появились многочисл. рукописные руководства по арифметике и геометрии, в которых излагались обширные сведения, необходимые для практич. деятельности. В Древней Руси использовалась система числовых знаков, основанная на славянском алфавите, сходная с греко-византийской системой. Эта система нумерации в рос. математич. лит-ре встречается до нач. 18 в., но уже с кон. 16 в. её начинает вытеснять десятичная система счисления.
Наиболее древнее рос. математич. произведение относится к 1136 и принадлежит Кирику Новгородцу. Оно посвящено хронологич. расчётам и показывает, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий, сводящуюся в математич. части к решению в целых числах неопределённых уравнений 1-й степени. Арифметич. рукописи кон. 16–17 вв. содержат, помимо описания слав. и араб. нумерации, арифметич. операции с целыми положительными числами, а также подробное изложение правил действия с дробями и решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Для практич. использования общих правил в рукописях рассматривались примеры с реальным содержанием и излагался т. н. дощаный счёт – прототип рус. счётов. В геометрич. рукописях содержалось изложение правил определения (иногда приближённого) площадей фигур и объёмов тел, часто использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора. В 1703 вышел первый рус. печатный учебник математики – «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, включавшая мн. математич. вопросы, которые теперь не относят к арифметике.
Создание математики переменных величин
С 17 в. начался существенно новый период развития М. Круг количественных отношений и пространственных форм уже не исчерпывался числами, уравнениями и геометрич. фигурами, что связано с явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.), однако чтобы рассматривать количественные отношения в процессе их изменения, надо было сами зависимости между величинами сделать самостоят. предметом изучения. Поэтому одним из осн. объектов изучения в М. стало понятие функции и функциональной зависимости между величинами. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей привело к возникновению осн. понятий математич. анализа, вводящих в М. в явном виде идею бесконечного, понятий предела, производной, дифференциала и интеграла. Начал создаваться анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления. Осн. законы механики и физики стали записываться в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений стала одной из важнейших задач М. Нахождение неизвестных функций, определённых условиями минимума и максимума некоторых связанных с ними величин, стало предметом вариационного исчисления. Т. о., наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появились уравнения, в которых неизвестны функции, подлежащие определению.
С проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур её предмет также существенно расширился. Геометрия начала изучать движение и преобразования сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из осн. объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Развитие этих идей относится к кон. 18 – нач. 19 вв.
С созданием аналитической геометрии принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода задач геометрии на язык алгебры и анализа и их решения чисто алгебраич. и аналитич. методами, помимо этого, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображении функциональных зависимостей (см. Координаты).
Алгебра 17 и 18 вв. в значит. мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения $Р(х)=0$ как функцию переменного $х$. Этот подход позволил изучить вопрос о числе действительных корней, находить методы их отделения и приближённого вычисления, а в комплексной области привёл Ж. Д’Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству осн. теоремы алгебры о существовании у любого алгебраич. уравнения хотя бы одного корня. К достижениям алгебры этого периода относится разработка способа решения произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработка теории делимости многочленов, метода исключения неизвестных и т. д., однако отделение собственно алгебраич. фактов и методов от фактов и методов математич. анализа произошло позднее (2-я пол. 19 – 20 вв.). В 17–18 вв. алгебра в значит. мере воспринималась как первый раздел анализа, в котором вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются алгебраич. зависимостями и уравнениями.
Описанный выше новый этап развития М. связан с созданием в 17 в. математич. естествознания, целью которого было объяснение отд. природных явлений действием общих законов природы, сформулированных математически. На протяжении 17 в. глубокие и обширные математич. исследования относятся лишь к двум разделам естеств. наук – механике и оптике (Г. Галилей, И. Кеплер, И. Ньютон, а также Х. Гюйгенс и Р. Гук). Тем не менее философия 17 в. выдвинула идею универсальности математич. метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. В. Лейбниц). Новые математич. проблемы выдвигали перед М. в 17 в. навигация, картография, баллистика, гидравлика.
В 1614 Дж. Непером было введено понятие логарифма. В 1637 Декарт опубликовал соч. «Геометрия», содержащее основы метода координат в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. В связи с возможностью представить корни уравнения $Р(х)=0$ точками пересечения кривой $y=Р(х)$ с осью абсцисс в алгебре исследовались действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и о нахождении касательных к кривым содержали, по существу, приёмы дифференциального исчисления, но сами эти приёмы ещё не были выделены. Др. источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) «неделимых» метод, применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду др. задач. Так, в геометрич. форме были, по существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчисления. Параллельно развивалось учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессии, изучал Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор (1668) получил разложение $log(1 x)$ в степенной ряд. Ньютон нашёл (1664–65) формулу бинома $(1 x)^α$ для любого показателя $α$, степенные ряды для функций $e^x$, $sinx$, $arcsinx$. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. С созданием метода координат и распространением представлений о направленных механич. величинах (скорость, ускорение) понятие отрицат. числа приобрело наглядность и ясность.
Важнейшую роль в создании М. переменных величин сыграли И. Ньютон и Г. В. Лейбниц, трудами которых в последней трети 17 в. было создано дифференциальное и интегральное исчисление. Приоритет публикации здесь принадлежит Лейбницу, давшему развёрнутое изложение осн. идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682–86. При этом имеются все основания считать, что приоритет получения осн. результатов принадлежит Ньютону, который пришёл к осн. идеям дифференциального и интегрального исчисления в 1665–66. Работа Ньютона «Анализ с помощью уравнений» в 1669 была передана им в рукописи англ. математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получила широкую известность в Англии. «Метод флюксий», сочинение, в котором Ньютон дал вполне законченное систематич. изложение своей теории, был написан в 1670–71 (опубл. в 1736). Лейбниц начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И Ньютон и Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели осн. для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями и разработали для них общий единообразный алгоритм. Осн. идея Ньютона (считающегося одним из основателей математич. естествознания) состояла в том, что фундам. законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а определение хода процессов, описываемых этими уравнениями, требует интегрирования уравнений (см. Флюксий исчисление). Для Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от традиц. алгебры к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а осн. понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы – бесконечно малые приращения переменных величин. С публикации работ Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа. Результаты исследований немедленно публиковались в журнальных статьях и использовались в исследованиях др. учёных.
В 17 в., кроме аналитич. геометрии, в тесной связи с алгеброй и анализом развивалась дифференциальная геометрия и были заложены основы проективной геометрии. Среди др. достижений М. 17 в. – исследования по теории чисел (Б. Паскаль, П. Ферма); разработка осн. понятий комбинаторики (Ферма, Паскаль, Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (Ферма, Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения – открытием Я. Бернулли простейшей формы больших чисел закона.
В нач. 18 в. общий стиль математич. исследований постепенно менялся. К этому времени развитие новых областей М., созданных в 17 в., достигло уровня, при котором дальнейшее продвижение стало требовать виртуозного владения математич. аппаратом и изобретательности в поиске обходных, зачастую неожиданных путей решения трудных задач. В 18 в. наиболее ярким представителем математиков, сочетавших в себе эти качества, был Л. Эйлер, а Ж. Лагранж, быть может, уступая Эйлеру в количестве и разнообразии решённых задач, соединял блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для франц. математич. школы 2-й пол. 18 в. Если виднейшие математики 17 в. часто были одновременно философами или физиками-экспериментаторами, то в 18 в. науч. работа в области М. стала самостоят. полем деятельности. При этом, однако, математич. естествознание (механика, математич. физика) и технич. применения М. остаются в сфере деятельности математиков. Эйлер занимался вопросами кораблестроения и оптики, Лагранж создал основы аналитич. механики, П. Лаплас был также крупнейшим астрономом и физиком своего времени.
В 18 в., благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра, теория чисел стала самостоят. наукой. Лагранж дал (1769, опубл. в 1771) общее решение неопределённых уравнений 2-й степени. Эйлер установил закон взаимности для квадратичных вычетов (1772, опубл. в 1783), он же использовал для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитич. теории чисел. При помощи разложений в непрерывные дроби Эйлер доказал (1737, опубл. в 1744) иррациональность чисел е и e2, а И. Ламберт (1766, опубл. в 1768) – иррациональность числа π. В алгебре Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование у каждого алгебраич. уравнения корня вида , т. е. корня, который является комплексным числом. Формула А. Муавра, дающая способ извлечения корней из комплексного числа, и Эйлера формула, связывающая показательную и тригонометрич. формы записи комплексных чисел, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, Дж. Стирлинг, Л. Эйлер и П. Лаплас заложили основы конечных разностей исчисления. Б. Тейлор (1715) и К. Маклорен (1742) опубликовали работы, в которых содержатся формулы разложения функций в степенные ряды. У исследователей 18 в., особенно у Эйлера, ряды стали одним из мощных средств анализа. С работ Ж. Д’Аламбера началось систематич. изучение условий сходимости рядов. Эйлер, Лагранж и Лежандр заложили основы исследования эллиптических интегралов. Большое внимание уделялось дифференциальным уравнениям, в частности Эйлер предложил метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами (1739, опубл. в 1743), Д’Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Лагранж и Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Л. Эйлер, Г. Монж и Ж. Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас – 2-го порядка. Рассматривались разложения функций в тригонометрич. ряды, и в связи с этой задачей между Л. Эйлером, Д. Бернулли, Ж. Д’Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции, подготовившая фундам. результаты 19 в. о соотношении между аналитич. выражением и произвольным заданием функции. В 18 в. значит. развитие в работах И. и Я. Бернулли, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, Г. В. Лейбница и И. Ньютона получило вариационное исчисление. Работы Я. Бернулли и Муавра подготовили начало развития вероятностей теории. В геометрии Эйлер завершил построение системы элементарной аналитич. геометрии. В работах Л. Эйлера, А. Клеро, Г. Монжа и Ж. Мёнье были заложены основы дифференциальной геометрии пространств. кривых и поверхностей. Ламберт развил теорию перспективы, а Монж придал окончат. форму начертательной геометрии. Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д’Аламбером и Ж. Лагранжем была создана гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости.
М. 18 в., основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет М. был связан преим. с деятельностью академий; ун-ты играли меньшую роль. В 18 в. одним из осн. центров математич. исследований стала Петерб. АН, где работали Л. Эйлер и Д. Бернулли и постепенно складывалась рос. математич. школа, развернувшая свои исследования в нач. 19 в.
Математика в 19 – нач. 20 вв.
В нач. 19 в. произошло новое значит. расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени осн. разделами физики, требовавшими развитого математич. аппарата, были механика и оптика, то теперь к ним присоединились электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получили широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред. Быстро росли математич. запросы техники. В нач. 19 в. это были вопросы термодинамики паровых машин, технич. механики, баллистики. В качестве осн. аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывалась теория дифференциальных уравнений с частными производными и теория потенциала. В этом направлении работало большинство крупных математиков нач. и сер. 19 в. – К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. Остроградский заложил также основы вариационного исчисления функций нескольких переменных, нашёл (1826, опубл. в 1831) формулу преобразования тройных интегралов в двойные и её n-мерное обобщение (1834, опубл. в 1838). В результате исследований по уравнениям математич. физики и по алгебре возник векторный анализ (Дж. Стокс и др. англ. математики).
Наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, внимание математиков с нач. 19 в. привлекали вопросы строгого обоснования анализа. Одним из первых приступил к исследованию в этом направлении Б. Больцано, доказавший (1817) теорему о промежуточных значениях непрерывной функции; при этом он впервые дал совр. определение непрерывной функции и доказал т. н. теорему Больцано – Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного множества. О. Коши (1821, 1823), Н. И. Лобачевский (1834) и, позднее, П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия. На основе чёткого понимания природы комплексных чисел возникла теория функций комплексного переменного (см. Аналитическая функция). Общие основы теории были заложены Коши. В отличие от чисто алгоритмич. подхода 18 в., на этом этапе внимание было сосредоточено на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и на осн. геометрич. закономерностях (напр., о зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, установленной Коши). Продолжением этих исследований стали результаты Б. Римана в сер. 19 в.: оказалось, что естеств. геометрич. носителем аналитич. функции в случае её многозначности является не плоскость комплексного переменного, а риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достиг той же общности, что и Риман, оставаясь в рамках чистого анализа. Однако геометрич. идеи Римана стали в дальнейшем определять стиль мышления в области теории функций комплексного переменного. Н. Абель и К. Якоби развивали теорию эллиптич. функций, получившую совр. вид в работах Вейерштрасса. Сохранялся интерес к вопросам теории функций в действительной области. Это привело, в частности, П. Л. Чебышева, исходившего из запросов теории механизмов, к постановке задач теории наилучших приближений.
В нач. 19 в. в алгебре была доказана неразрешимость в радикалах общего уравнения 5-й степени (П. Руффини, Н. Абель). Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). Задача общего абстрактного изучения групп была поставлена А. Кэли, хотя всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ М. Э. К. Жордана в 1870-х гг. От работ Галуа и Абеля берёт начало также понятие поля алгебраич. чисел, приведшее к созданию нового раздела алгебры – алгебраич. теории чисел. В 19 в. продолжалась разработка задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами натуральных чисел. К. Гаусс разработал (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получил (1848, 1850) осн. результаты о законе расположения простых чисел в натуральном ряде. П. Дирихле установил бесконечность множества простых чисел в арифметич. прогрессиях (1837).
Для выработки новых взглядов на предмет геометрии ключевым оказалось создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии (см. Лобачевского геометрия). К. Гауссом (1827) и К. М. Петерсоном (1853) разрабатывалась дифференциальная геометрия поверхностей. Параллельно развивалась, долгое время – независимо от неевклидовой геометрии, проективная геометрия (Ж. Понселе, нем. учёные Я. Штейнер, К. Штаудт), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Нем. математик Ю. Плюккер построил геометрию, рассматривая в качестве осн. элементов прямые, Г. Грассман создал аффинную и метрич. геометрию $n$-мерного векторного пространства. Б. Риман предложил (1854, опубл. в 1866) концепцию $n$-мерного многообразия с метрич. геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии $n$-мерных многообразий (см. Риманова геометрия).
Связь М. с естествознанием в 19 в. приобрела более сложные формы. Новые математич. теории стали возникать не только в результате непосредств. запросов естествознания или техники, но также из внутр. потребностей самой М. Таковым в осн. было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в нач. и сер. 19 в. центр. положение во всём математич. анализе. Др. примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась «воображаемая геометрия» Н. И. Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была поколеблена вера в незыблемость освящённых тысячелетним развитием М. аксиом, понята возможность создания новых математич. теорий с помощью отказа от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутр. логич. необходимости, и было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем конкретные применения.
Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло в 19 в. внимание к вопросам её обоснования, т. е. критич. пересмотру её исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критич. рассмотрению логич. приёмов, употребляемых при доказательствах. Работы по строгому обоснованию тех или иных разделов М. занимали значит. место в М. 19–20 вв. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приёмов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются ныне в большинстве учебников. Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практич. потребностей математич. теории запаздывает. Так в течение долгого времени было с операционным исчислением. С большим запозданием была логически безупречно построена математич. теория вероятностей. Стандарт требований к логич. строгости, предъявляемых к практич. работе математиков над развитием отд. математич. теорий, сложился только к кон. 19 в. Глубокий и тщательный анализ требований к логич. строгости доказательств, строения математич. теорий, вопросов алгоритмич. разрешимости и неразрешимости математич. проблем составляет предмет математической логики. Её основы заложены в 19 в. Дж. Булем, Дж. Пеано, П. С. Порецким, Г. Фреге, нем. математиком Э. Шрёдером и др. В нач. 20 в. в этой области получены важные результаты (теория доказательств Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).
В последней трети 19 в. работы по обоснованию анализа получили необходимый фундамент в виде строгой теории действительных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879–84 были опубликованы осн. работы Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы совр. общие представления о предмете М., строении математич. теории, роли аксиоматики и т. д. Их широкое распространение потребовало ещё неск. десятилетий (общее признание совр. концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 работы Д. Гильберта «Основания геометрии»).
Большое число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными. Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений интенсивно развивались. Для решения сложных линейных систем были созданы методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применялся метод разложения по параметру. Разрабатывалась аналитич. теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений с кон. 19 в. стали привлекать вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (Пуанкаре и др.) и вопросы устойчивости, изученные А. М. Ляпуновым.
Качественная теория дифференциальных уравнений стала для А. Пуанкаре основой, на которой он продолжил намеченные Б. Риманом исследования по топологии многообразий, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили начало комбинаторные, гомологические и гомотопические методы совр. топологии. Др. направление в топологии возникло из теории множеств и функционального анализа и привело к построению теории общих топологич. пространств.
В теории дифференциальных уравнений с частными производными осн. внимание уделялось краевым задачам при отказе от аналитич. краевых условий. Аналитич. теория, развивавшаяся О. Коши, К. Вейерштрассом и С. В. Ковалевской, не потеряла своего значения, но обнаружилось, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, т. е. возможности найти приближённое решение, зная граничные условия лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретич. решение не имеет практич. ценности. С этим связано превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными гл. обр. в теорию математической физики уравнений. Работы по отд. типам уравнений математич. физики составляют значит. часть М. Уравнениями математич. физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Дж. Рэлей, У. Томсон, К. Нейман, Д. Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и др.
В кон. 19 – нач. 20 вв. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт заложили основы совр. алгебраич. теории чисел. Ж. Адамар (1896) и Ш. Ла Валле Пуссен (1896) продолжили исследования П. Л. Чебышева о расположении простых чисел в натуральном ряде. Г. Минковский ввёл в теоретико-числовые исследования геометрич. методы. В России теория чисел развивалась в работах А. Н. Коркина, Г. Ф. Вороного и А. А. Маркова.
В алгебре развивались исследования по теории групп, полей, колец и т. д. Многие из этих разделов алгебры получили применения в естествознании, в частности, теория групп – в кристаллографии и в вопросах квантовой физики. На границе между алгеброй и геометрией С. Ли развивал (с 1873) теорию непрерывных групп, методы которой позднее проникли в разл. разделы М. и естествознания.
Осн. разделами геометрии, привлекавшими внимание мн. выдающихся учёных, стали дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трёхмерного пространства получила систематич. развитие в работах Э. Бельтрами, Г. Дарбу и др. Развивалась дифференциальная геометрия разл. групп преобразований (более широких, чем группа евклидовых движений) и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрич. исследований разрабатывалось Т. Леви-Чивитой, Э. Картаном и Г. Вейлем и связано с возникновением относительности теории.
В кон. 19 в. интенсивно развивалась теория аналитич. функций, как в соответствии со своими внутр. потребностями, так и из-за её связей с др. разделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными, напр., при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости, а также в аэромеханике (Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин).
Ф. Клейн и А. Пуанкаре создали теорию автоморфных функций, в которой нашла применение геометрия Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель разработали теорию целых функций. Геометрич. теорию функций и теорию римановых поверхностей развивали Пуанкаре, Д. Гильберт и др.
При изучении природы и решении технич. задач большую роль играют методы теории вероятностей. В кон. 19 – нач. 20 вв. теория вероятностей получила много новых применений благодаря развитию статистич. физики и механики и разработке аппарата математической статистики. Наиболее глубокие теоретич. исследования по общим вопросам теории вероятностей в кон. 19 – нач. 20 вв. разрабатывались рос. учёными петерб. школы (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов). Эти исследования были сосредоточены вокруг вопроса об условиях применимости центральной предельной теоремы.
В кон. 19 – нач. 20 вв. численные методы анализа стали самостоят. ветвью М. При этом большое внимание уделялось методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов).
Современная математика
Существенное влияние на развитие математики 20 в. оказало решение задач, сформулированных Д. Гильбертом в 1900 (см. Гильберта проблемы).
Теория чисел, представлявшая собой собрание отд. результатов и идей, в 20 в. развивалась в разл. направлениях как стройная теория, включавшая алгебраич. теорию чисел, аналитич. теорию чисел, Диофантовы уравнения. Осн. результаты были получены И. М. Виноградовым, А. О. Гельфондом, Ю. В. Линником, К. К. Марджанишвили, А. Вейлем, Дж. Литлвудом, С. Рамануджаном, Г. Харди, нем. математиком Х. Хассе. Англ. математик Э. Дж. Уайлс в 1993 доказал Ферма Великую теорему.
В алгебре значит. результаты получили Б. Н. Делоне, Ю. Л. Ершов, А. И. Кострикин, А. И. Мальцев, А. Н. Паршин, И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев, нем. математик Э. Артин, Б. Ван дер Варден, Э. Нётер. Большой вклад в теорию непрерывных групп внесли Л. С. Понтрягин и Ф. Хаусдорф. Ряд задач в области алгебры с помощью методов математич. логики были решены С. И. Адяном, П. С. Новиковым и А. И. Мальцевым. В области математич. логики существенные результаты получены С. И. Адяном, Ю. Л. Ершовым, О. Б. Лупановым, А. А. Ляпуновым, Ю. В. Матиясевичем, С. В. Яблонским, К. Гёделем, П. Коэном, А. Тьюрингом и А. Чёрчем.
Для развития геометрии важное значение имели работы А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова, А. В. Погорелова и Ю. Г. Решетняка. Осн. разделами геометрии, где сосредоточились наиболее значит. силы, стали дифференциальная геометрия, алгебраич. геометрия, риманова геометрия. Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирельман дали решение проблемы Пуанкаре о существовании трёх замкнутых несамопересекающихся геодезических на римановом многообразии, гомоморфном сфере. С. П. Новиков доказал топологич. инвариантность т. н. рациональных классов Понтрягина. Важный вклад в алгебраич. геометрию внесли М. Атья, Ж. П. Серр, Х. Хиронака, Ф. Хирцебрух. Развитие топологии связано с работами П. С. Александрова, Л. В. Келдыш, С. П. Новикова, А. Н. Тихонова, П. С. Урысона, А. Т. Фоменко, брит. математика Ф. Адамса, Л. Брауэра, франц. математика А. Гротендика, К. Куратовского, С. Лефшеца, Х. Уитни, Ф. Хаусдорфа, Х. Хопфа. В развитие алгебраич. и дифференциальной топологии большой вклад внёс Дж. Милнор.
В области обыкновенных дифференциальных уравнений важные результаты получены Д. В. Аносовым, В. И. Арнольдом, А. А. Болибрухом, А. М. Ильиным, В. А. Ильиным, А. Б. Куржанским, Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Осиповым, И. Г. Петровским, Л. С. Понтрягиным, А. И. Субботиным. Вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математич. теории оптимального управления. Понтрягин является создателем теории оптимальных процессов, в основе которой лежит Понтрягина принцип максимума. Большой вклад в теорию оптимального управления внесли Р. В. Гамкрелидзе, Н. Н. Красовский, А. В. Кряжимский, Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Осипов и Ч. Олех. Красовский исследовал вопросы, связанные с устойчивостью решений дифференциальных уравнений.
Теория дифференциальных уравнений с частными производными развивалась в работах А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. Д. Кудрявцева, М. А. Лаврентьева, О. А. Ладыженской, В. А. Марченко, В. П. Маслова, Н. И. Мусхелишвили, О. А. Олейник, И. Г. Петровского, С. Л. Соболева, В. И. Смирнова, Ж. Лере, амер. математика Л. Ниренберга, швед. математика Л. Хёрмандера, Л. Шварца. Значит. работы в области математич. физики принадлежат Н. Н. Боголюбову, В. С. Владимирову, В. А. Стеклову, Л. Д. Фаддееву, Р. Куранту.
В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой теории действительных чисел и теории множеств возник новый раздел М. – теория функций действительного переменного. Исследования по этой теории привели к общим определениям понятий меры множества, измеримых функций и интеграла, играющих важную роль в совр. М. Основы совр. теории функций действительного переменного заложили в кон. 19 – нач. 20 вв. математики франц. школы (М. Э. К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр), позднее ведущая роль перешла к рос. школе. Теория функций действительного переменного состоит в осн. из метрич. теории функций и теории приближения функций. В метрич. теории функций изучаются свойства функций на основе понятия меры. Большой вклад в её развитие внесён основателями моск. математич. школы Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным и учениками Лузина Н. К. Бари, А. Н. Колмогоровым, Д. Е. Меньшовым, М. Я. Суслиным, А. Я. Хинчиным. Теория приближения функций берёт начало в работе П. Л. Чебышева 1859. Он ввёл одно из осн. понятий этой теории – понятие наилучшего приближения непрерывной функции полиномами. Значит. вклад в теории приближений принадлежит Н. К. Бари, С. Н. Бернштейну, А. Н. Колмогорову, С. М. Никольскому, П. Л. Ульянову и С. Б. Стечкину. Наряду с приближениями функций изучались разложения функций в ряды, в частности в ряды по ортогональным системам функций. Эти разложения рассматривались Н. К. Бари, А. Н. Колмогоровым, Д. Е. Меньшовым, В. А. Стекловым, нем. математиком С. Бохнером.
Теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие мн. других разделов М. Разработанные в ней методы использовались при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нём задач он примыкает непосредственно к классич. анализу и математич. физике, становясь особенно необходимым (гл. обр. в форме теории операторов) в квантовой физике. Впервые выделение функционального анализа как особого раздела М. произведено В. Вольтеррой в кон. 19 в. Частями функционального анализа теперь являются возникшее много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений, систематич. построение которой было начато Вольтеррой и продолжено Э. Фредгольмом. Наиболее важный спец. случай операторов в гильбертовом пространстве, роль которого стала ясна из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывался особенно интенсивно. Обобщая понятие гильбертова пространства, Ф. Рисс рассмотрел некоторые нормированные пространства, а С. Банах ввёл (1922) полные линейные нормированные пространства (см. Банахово пространство). В 1930–40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Рисса, амер. математиков М. Стоуна и Дж. фон Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. И. М. Гельфандом разработана теория нормированных колец (банаховых алгебр, 1940). В теории функций действительного переменного и в функциональном анализе широко используются понятия метрического пространства, компактности, полноты и сепарабельности, введённые М. Фреше.
Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина по применению теории функций комплексного переменного в аэромеханике продолжил М. В. Келдыш. Граничными задачами теории аналитич. функций занимались И. Н. Векуа, Н. И. Мусхелишвили, И. И. Привалов. Фундам. результаты в теории приближения функций комплексного переменного многочленами получены Келдышем и М. А. Лаврентьевым. Эти исследования продолжали А. Г. Витушкин, А. А. Гончар, А. Ф. Леонтьев, С. Н. Мергелян.
В теории вероятностей А. М. Ляпунов предложил (1901) метод характеристич. функций, один из осн. методов доказательства предельных теорем теории вероятностей. Теория предельных теорем, называемая ныне классической, в осн. создана трудами Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и П. Леви в 1-й пол. 20 в. Развитие этой теории продолжалось во 2-й пол. 20–21 вв. Колмогоров построил (1933) общепринятую аксиоматику теории вероятностей, получив тем самым решение 6-й проблемы Гильберта, заложил основы теории марковских случайных процессов (1936), а также ветвящихся случайных процессов (1947), которые нашли применение в химии и в атомной энергетике; вместе с Хинчиным развил теорию стационарных случайных процессов (1941). Ю. В. Прохоров в работах по предельным теоремам для случайных процессов предложил методы, основанные на изучении сходимости мер в функциональных пространствах, эти методы, в частности, были применены для обоснования предельного перехода от дискретных случайных процессов к непрерывным.
Развитие теории вероятностей и теории случайных процессов продолжалось в работах А. А. Боровкова, И. А. Ибрагимова, Я. Г. Синая, укр. математика А. В. Скорохода, литов. математиков Й. Кубилюса и В. Статулявичуса, узб. математиков Т. А. Сарымсакова и С. Х. Сираждинова, амер. учёного Дж. Дуба, япон. математика К. Ито и П. Леви. Теория вероятностей является основой математической статистики, существенный вклад в развитие которой внесли А. Н. Колмогоров, Л. Н. Большев, В. И. Романовский, Н. В. Смирнов, амер. математик А. Вальд, Х. Крамер, Ю. Нейман, К. Пирсон, Р. Фишер.
Практич. использование результатов теоретич. математич. исследования требует, как правило, получения ответа на поставленную задачу в числовой форме, что часто оказывается весьма трудным. Зародившиеся в кон. 19 – нач. 20 вв. численные методы анализа и алгебры в связи с созданием и совершенствованием вычислительных машин выросли в самостоят. раздел М. – вычислительную математику. В создание и развитие отеч. вычислит. машин значит. вклад внесли В. М. Глушков, С. А. Лебедев и В. А. Мельников. Существенный вклад в развитие вычислит. математики внесли Н. С. Бахвалов, В. В. Воеводин, Б. Г. Галёркин, В. М. Глушков, Н. Н. Говорун, С. К. Годунов, Е. В. Золотов, Л. В. Канторович, М. В. Келдыш, Г. И. Марчук, В. А. Мельников, А. А. Самарский, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов, В. Н. Фаддеева.
Осн. направления исследований в М. по разделам сложились в нач. 20 в. В значит. мере это деление на разделы сохраняется и в 21 в., несмотря на стремительное развитие М. Однако потребности развития самой М., математизация разл. областей науки, проникновение математич. методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислит. техники привели к перемещению осн. усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению ряда новых математич. дисциплин (см., напр., Автоматов теория, Игр теория, Информатика, Информации теория, Исследование операций, Кибернетика, Криптография, Математическая экономика). Теоретич. вопросами информатики занимались А. П. Ершов, Ю. И. Журавлёв и В. А. Садовничий. На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, графов теории, теории кодирования возникла дискретная математика. Теория алгоритмов, теория сложности и надёжности управляющих систем развивались в трудах С. И. Адяна, Ю. Л. Ершова, Ю. И. Журавлёва, А. Н. Колмогорова, О. Б. Лупанова, А. А. Маркова, А. А. Разборова и С. В. Яблонского. Основы теории информации были заложены В. А. Котельниковым (1941) и К. Шенноном (1948–1949). В теоретич. разделы теории информации большой вклад внесён Колмогоровым и Н. Винером; в разделы, соприкасающиеся с применениями, – Котельниковым. В математич. экономике исследования Л. В. Канторовича способствовали построению теории оптимального планирования и управления нар. хозяйством. Важную роль в развитии математич. экономики сыграли работы В. Л. Макарова.
Математические организации и журналы
В кон. 17 – нач. 18 вв. появились первые математич. общества. Обзорные доклады о мировых достижениях М., а также сообщения о наиболее интересных работах отд. учёных представляются на проходящих междунар. математич. конгрессах. 1-й Математич. конгресс состоялся в Цюрихе (1897), затем они проходили в Париже (1900), Гейдельберге (1904), Риме (1908), Кембридже (Великобритания, 1912), Страсбуре (1920), Торонто (1924), Болонье (1928), Цюрихе (1932), Осло (1936). После 2-й мировой войны математич. конгрессы проходили в Кембридже (штат Массачусетс, США, 1950), Амстердаме (1954), Эдинбурге (1958), Стокгольме (1962), Москве (1966), Ницце (1970), Ванкувере (1974), Хельсинки (1978), Варшаве (1983), Беркли (1986), Киото (1990), Цюрихе (1994), Берлине (1998), Пекине (2002), Мадриде (2006), Хайдарабаде (Индия, 2010), планируется в Сеуле (2014). Организация и поощрение междунар. сотрудничества в области М. является задачей Международного математического союза.
В России мн. математич. исследования проводятся в ин-тах, входящих в РАН. Это Математический институт им. В. А. Стеклова, С.-Петерб. отделение Математич. ин-та, Вычислительной математики институт, Вычислительный центр им. А. А. Дородницина, Ин-т автоматизации проектирования, Ин-т математич. моделирования, Прикладной математики институт им. М. В. Келдыша, Ин-т системного программирования, а также Ин-т математики с вычислит. центром Уфимского науч. центра РАН, Математики институт им. С. Л. Соболева СО РАН, Институт математики и механики УрО РАН, Ин-т прикладной математики ДВО РАН, Ин-т прикладных математич. исследований Карельского научного центра РАН, Ин-т прикладной математики и информатики Владикавказского науч. центра РАН, НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского науч. центра РАН.
Текущие математич. исследования (а также информация о математич. жизни в разл. странах) публикуются в математич. журналах.
Отд. математич. статьи впервые стали печататься в общих науч. журналах. Среди них – «Jornal des savants» (P.; Amst.; Lpz., с 1665), в котором публиковались работы братьев Бернулли, «Acta eruditorum» (Lpz., 1682–1731), где были напечатаны мн. работы Лейбница и братьев Бернулли.
Специализир. математич. журналы появились в нач. 19 в. Старейшие из них: «Journal für die reine und angewandte Mathematik» (B., c 1826), «Proceedings of the London Mathematical Society» (L., с 1865), «Математический сборник» (с 1866), «Mathematisсhe Annalen» (B.; Lpz., с 1869), «Acta Mathematica» (Uppsala; Stockh., с 1882), «Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society» (Edinburgh, с 1883), «Annals of Mathematics» (Princeton, с 1884), «Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo» (Palermo, с 1884), «Bulletin of the American Mathematical Society» (Lancaster, с 1891).
РАН продолжает издавать журналы «Известия Академии наук СССР. Серия математическая» (М., 1937–94, с 1995 – «Известия РАН. Серия математическая»), «Успехи математических наук» (М., с 1936), «Алгебра и анализ» (Л.; СПб., с 1989), «Дискретная математика» (М., с 1989), «Математические заметки» (М., с 1967), «Теоретическая и математическая физика» (М., с 1969), «Теория вероятностей и ее применения» (М., с 1956), «Функциональный анализ и его приложения» (М., с 1967), «Журнал вычислительной математики и математической физики» (М., с 1961), «Математическое моделирование» (М., с 1989), «Программирование» (М., с 1975).
В связи с тем, что число математич. публикаций очень велико, возникла необходимость издания реферативных журналов по математике. Первыми из них в России были «Русская физико-математическая библиография» (СПб., 1885–1900), «Русская библиография по естествознанию и математике, составленная состоящим при императорской Академии наук С.-Петербургским бюро международной библиографии» (1904–17), позднее стали выходить «Физико-математический реферативный журнал» (М., 1939–41) и «Реферативный журнал. Математика» (М., с 1953).
Науч. общества и университеты в разл. городах России выпускают свои общенаучные издания. Среди них «Учёные записки Казанского университета» (с 1834), в которых впервые опубликованы сочинения Н. И. Лобачевского, «Учёные записки Московского университета» (с 1933).
